الجبر الخطي الأمثلة

$A = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $- 3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $5$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

وسّع $(2 - λ) (2 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.2

اطرح $2 λ$ من $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اضرب $- 5$ في $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $4 - 4 λ + λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.3

انقُل $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 4) + 0 + 0$

خطوة 1.5.4.2.4

أعِد ترتيب $- 4 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0 + 0$

خطوة 1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1.1

أضف $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0$

خطوة 1.5.5.1.2

أضف $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ و $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$

خطوة 1.5.5.2

وسّع $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.1

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.2

اضرب $- 4 λ$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.4

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.4.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.4.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.4.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.6

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.6.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.6.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.7

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 4$

خطوة 1.5.5.3.8

اضرب $4$ في $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ$

خطوة 1.5.5.4

أضف $λ^{2}$ و $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

خطوة 1.5.5.5

اطرح $4 λ$ من $- 4 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 8 λ + 4 - λ^{3}$

خطوة 1.5.5.6

انقُل $4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 4$

خطوة 1.5.5.7

انقُل $- 8 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - λ^{3} - 8 λ + 4$

خطوة 1.5.5.8

أعِد ترتيب $5 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

حلّل $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

خطوة 1.7.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

خطوة 1.7.1.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$- 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

خطوة 1.7.1.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

خطوة 1.7.1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

خطوة 1.7.1.1.3.4

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 4$

خطوة 1.7.1.1.3.5

اضرب $5$ في $1$ .

$- 1 + 5 - 8 \cdot 1 + 4$

خطوة 1.7.1.1.3.6

أضف $- 1$ و $5$ .

$4 - 8 \cdot 1 + 4$

خطوة 1.7.1.1.3.7

اضرب $- 8$ في $1$ .

$4 - 8 + 4$

خطوة 1.7.1.1.3.8

اطرح $8$ من $4$ .

$- 4 + 4$

خطوة 1.7.1.1.3.9

أضف $- 4$ و $4$ .

$0$

خطوة 1.7.1.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4}{λ - 1}$

خطوة 1.7.1.1.5

اقسِم $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ على $λ - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$5 λ^{2}$

$8 λ$

$4$

خطوة 1.7.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$

خطوة 1.7.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- λ^{3} + λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$4 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 λ^{2} - 4 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$

خطوة 1.7.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

خطوة 1.7.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

خطوة 1.7.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							-	$4 λ$	+	$4$

خطوة 1.7.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 λ + 4$

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$

خطوة 1.7.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$
										$0$

خطوة 1.7.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- λ^{2} + 4 λ - 4$

خطوة 1.7.1.1.6

اكتب $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 4 λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ ومجموعهما $b = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 4 (λ) - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (2 + 2) λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 2 λ + 2 λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + 2 λ) + 2 λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(λ - 1) (λ (- λ + 2) - 2 (- λ + 2)) = 0$

خطوة 1.7.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- λ + 2$ .

$(λ - 1) ((- λ + 2) (λ - 2)) = 0$

خطوة 1.7.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 2) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 2 = 0$

$λ - 2 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 1.7.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $- λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $- λ + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- λ + 2 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $- λ + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- λ = - 2$

خطوة 1.7.4.2.2

اقسِم كل حد في $- λ = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- λ = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.7.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.7.4.2.2.2.2

اقسِم $λ$ على $1$ .

$λ = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.7.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$λ = 2$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 2) = 0$ صحيحة.

$λ = 1, 2$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.3

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.4

اطرح $0$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.5

اطرح $1$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.6

اطرح $0$ من $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.7

اطرح $0$ من $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.8

اطرح $0$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.9

اطرح $1$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 5 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{1}{8} & \frac{0}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - \frac{1}{8} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{8} z = 0$

$y + \frac{1}{8} z = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{8} \\ - \frac{z}{8} \\ z \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 2$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $- 2$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $- 2$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $2$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

اطرح $2$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أضف $- 3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $5$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - 2 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

اطرح $2$ من $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 5 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$