إدخال مسألة...
الجبر الخطي الأمثلة
A=[100120-352]A=⎡⎢⎣100120−352⎤⎥⎦
خطوة 1
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ)p(λ).
p(λ)=محدِّد(A-λI3)p(λ)=محدِّد(A−λI3)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 33 هي المصفوفة المربعة 3×3 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[100010001]
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A-λI3).
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة A التي تساوي [100120-352].
p(λ)=محدِّد([100120-352]-λI3)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I3 التي تساوي [100010001].
p(λ)=محدِّد([100120-352]-λ[100010001])
p(λ)=محدِّد([100120-352]-λ[100010001])
خطوة 1.4
بسّط.
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.1.1
اضرب -λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.4.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.5
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.6.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.6.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.7.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.7.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8
اضرب -λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.8.1
اضرب 0 في -1.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.8.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.9
اضرب -1 في 1.
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=محدِّد([100120-352]+[-λ000-λ000-λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[1-λ0+00+01+02-λ0+0-3+05+02-λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
خطوة 1.4.3.1
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ00+01+02-λ0+0-3+05+02-λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ001+02-λ0+0-3+05+02-λ]
خطوة 1.4.3.3
أضف 1 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ0012-λ0+0-3+05+02-λ]
خطوة 1.4.3.4
أضف 0 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ0012-λ0-3+05+02-λ]
خطوة 1.4.3.5
أضف -3 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ0012-λ0-35+02-λ]
خطوة 1.4.3.6
أضف 5 و0.
p(λ)=محدِّد[1-λ0012-λ0-352-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ0012-λ0-352-λ]
p(λ)=محدِّد[1-λ0012-λ0-352-λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
خطوة 1.5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in row 1 by its cofactor and add.
خطوة 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
خطوة 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
خطوة 1.5.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|2-λ052-λ|
خطوة 1.5.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
(1-λ)|2-λ052-λ|
خطوة 1.5.1.5
The minor for a12 is the determinant with row 1 and column 2 deleted.
|10-32-λ|
خطوة 1.5.1.6
Multiply element a12 by its cofactor.
0|10-32-λ|
خطوة 1.5.1.7
The minor for a13 is the determinant with row 1 and column 3 deleted.
|12-λ-35|
خطوة 1.5.1.8
Multiply element a13 by its cofactor.
0|12-λ-35|
خطوة 1.5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=(1-λ)|2-λ052-λ|+0|10-32-λ|+0|12-λ-35|
p(λ)=(1-λ)|2-λ052-λ|+0|10-32-λ|+0|12-λ-35|
خطوة 1.5.2
اضرب 0 في |10-32-λ|.
p(λ)=(1-λ)|2-λ052-λ|+0+0|12-λ-35|
خطوة 1.5.3
اضرب 0 في |12-λ-35|.
p(λ)=(1-λ)|2-λ052-λ|+0+0
خطوة 1.5.4
احسِب قيمة |2-λ052-λ|.
خطوة 1.5.4.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
p(λ)=(1-λ)((2-λ)(2-λ)-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.4.2.1.1
وسّع (2-λ)(2-λ) باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".
خطوة 1.5.4.2.1.1.1
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(2(2-λ)-λ(2-λ)-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.1.2
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(2⋅2+2(-λ)-λ(2-λ)-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
p(λ)=(1-λ)(2⋅2+2(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-5⋅0)+0+0
p(λ)=(1-λ)(2⋅2+2(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2
بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.1
اضرب 2 في 2.
p(λ)=(1-λ)(4+2(-λ)-λ⋅2-λ(-λ)-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.2
اضرب -1 في 2.
p(λ)=(1-λ)(4-2λ-λ⋅2-λ(-λ)-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3
اضرب 2 في -1.
p(λ)=(1-λ)(4-2λ-2λ-λ(-λ)-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.4
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=(1-λ)(4-2λ-2λ-1⋅-1λ⋅λ-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.1
انقُل λ.
p(λ)=(1-λ)(4-2λ-2λ-1⋅-1(λ⋅λ)-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=(1-λ)(4-2λ-2λ-1⋅-1λ2-5⋅0)+0+0
p(λ)=(1-λ)(4-2λ-2λ-1⋅-1λ2-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.6
اضرب -1 في -1.
p(λ)=(1-λ)(4-2λ-2λ+1λ2-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.1.7
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=(1-λ)(4-2λ-2λ+λ2-5⋅0)+0+0
p(λ)=(1-λ)(4-2λ-2λ+λ2-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.2.2
اطرح 2λ من -2λ.
p(λ)=(1-λ)(4-4λ+λ2-5⋅0)+0+0
p(λ)=(1-λ)(4-4λ+λ2-5⋅0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.1.3
اضرب -5 في 0.
p(λ)=(1-λ)(4-4λ+λ2+0)+0+0
p(λ)=(1-λ)(4-4λ+λ2+0)+0+0
خطوة 1.5.4.2.2
أضف 4-4λ+λ2 و0.
p(λ)=(1-λ)(4-4λ+λ2)+0+0
خطوة 1.5.4.2.3
انقُل 4.
p(λ)=(1-λ)(-4λ+λ2+4)+0+0
خطوة 1.5.4.2.4
أعِد ترتيب -4λ وλ2.
p(λ)=(1-λ)(λ2-4λ+4)+0+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-4λ+4)+0+0
p(λ)=(1-λ)(λ2-4λ+4)+0+0
خطوة 1.5.5
بسّط المحدد.
خطوة 1.5.5.1
جمّع الحدود المتعاكسة في (1-λ)(λ2-4λ+4)+0+0.
خطوة 1.5.5.1.1
أضف (1-λ)(λ2-4λ+4) و0.
p(λ)=(1-λ)(λ2-4λ+4)+0
خطوة 1.5.5.1.2
أضف (1-λ)(λ2-4λ+4) و0.
p(λ)=(1-λ)(λ2-4λ+4)
p(λ)=(1-λ)(λ2-4λ+4)
خطوة 1.5.5.2
وسّع (1-λ)(λ2-4λ+4) بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.
p(λ)=1λ2+1(-4λ)+1⋅4-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.5.3.1
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=λ2+1(-4λ)+1⋅4-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.2
اضرب -4λ في 1.
p(λ)=λ2-4λ+1⋅4-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.3
اضرب 4 في 1.
p(λ)=λ2-4λ+4-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.4
اضرب λ في λ2 بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.5.3.4.1
انقُل λ2.
p(λ)=λ2-4λ+4-(λ2λ)-λ(-4λ)-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.4.2
اضرب λ2 في λ.
خطوة 1.5.5.3.4.2.1
ارفع λ إلى القوة 1.
p(λ)=λ2-4λ+4-(λ2λ1)-λ(-4λ)-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.4.2.2
استخدِم قاعدة القوة aman=am+n لتجميع الأُسس.
p(λ)=λ2-4λ+4-λ2+1-λ(-4λ)-λ⋅4
p(λ)=λ2-4λ+4-λ2+1-λ(-4λ)-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.4.3
أضف 2 و1.
p(λ)=λ2-4λ+4-λ3-λ(-4λ)-λ⋅4
p(λ)=λ2-4λ+4-λ3-λ(-4λ)-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.5
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=λ2-4λ+4-λ3-1⋅-4λ⋅λ-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.6
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.5.3.6.1
انقُل λ.
p(λ)=λ2-4λ+4-λ3-1⋅-4(λ⋅λ)-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.6.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=λ2-4λ+4-λ3-1⋅-4λ2-λ⋅4
p(λ)=λ2-4λ+4-λ3-1⋅-4λ2-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.7
اضرب -1 في -4.
p(λ)=λ2-4λ+4-λ3+4λ2-λ⋅4
خطوة 1.5.5.3.8
اضرب 4 في -1.
p(λ)=λ2-4λ+4-λ3+4λ2-4λ
p(λ)=λ2-4λ+4-λ3+4λ2-4λ
خطوة 1.5.5.4
أضف λ2 و4λ2.
p(λ)=5λ2-4λ+4-λ3-4λ
خطوة 1.5.5.5
اطرح 4λ من -4λ.
p(λ)=5λ2-8λ+4-λ3
خطوة 1.5.5.6
انقُل 4.
p(λ)=5λ2-8λ-λ3+4
خطوة 1.5.5.7
انقُل -8λ.
p(λ)=5λ2-λ3-8λ+4
خطوة 1.5.5.8
أعِد ترتيب 5λ2 و-λ3.
p(λ)=-λ3+5λ2-8λ+4
p(λ)=-λ3+5λ2-8λ+4
p(λ)=-λ3+5λ2-8λ+4
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
-λ3+5λ2-8λ+4=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.1
حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.
خطوة 1.7.1.1
حلّل -λ3+5λ2-8λ+4 إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.
خطوة 1.7.1.1.1
إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة pq والتي تكون فيها p هي عامل الثابت وq هي عامل المعامل الرئيسي.
p=±1,±4,±2
q=±1
خطوة 1.7.1.1.2
أوجِد كل تركيبة من تركيبات ±pq. هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.
±1,±4,±2
خطوة 1.7.1.1.3
عوّض بـ 1 وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي 0، إذن 1 هو جذر متعدد الحدود.
خطوة 1.7.1.1.3.1
عوّض بـ 1 في متعدد الحدود.
-13+5⋅12-8⋅1+4
خطوة 1.7.1.1.3.2
ارفع 1 إلى القوة 3.
-1⋅1+5⋅12-8⋅1+4
خطوة 1.7.1.1.3.3
اضرب -1 في 1.
-1+5⋅12-8⋅1+4
خطوة 1.7.1.1.3.4
ارفع 1 إلى القوة 2.
-1+5⋅1-8⋅1+4
خطوة 1.7.1.1.3.5
اضرب 5 في 1.
-1+5-8⋅1+4
خطوة 1.7.1.1.3.6
أضف -1 و5.
4-8⋅1+4
خطوة 1.7.1.1.3.7
اضرب -8 في 1.
4-8+4
خطوة 1.7.1.1.3.8
اطرح 8 من 4.
-4+4
خطوة 1.7.1.1.3.9
أضف -4 و4.
0
0
خطوة 1.7.1.1.4
بما أن 1 جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على λ-1 لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.
-λ3+5λ2-8λ+4λ-1
خطوة 1.7.1.1.5
اقسِم -λ3+5λ2-8λ+4 على λ-1.
خطوة 1.7.1.1.5.1
عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة 0.
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 |
خطوة 1.7.1.1.5.2
اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم -λ3 على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه λ.
- | λ2 | ||||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 |
خطوة 1.7.1.1.5.3
اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.
- | λ2 | ||||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
- | λ3 | + | λ2 |
خطوة 1.7.1.1.5.4
يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في -λ3+λ2
- | λ2 | ||||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 |
خطوة 1.7.1.1.5.5
بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.
- | λ2 | ||||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 |
خطوة 1.7.1.1.5.6
أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.
- | λ2 | ||||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ |
خطوة 1.7.1.1.5.7
اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم 4λ2 على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه λ.
- | λ2 | + | 4λ | ||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ |
خطوة 1.7.1.1.5.8
اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.
- | λ2 | + | 4λ | ||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 4λ |
خطوة 1.7.1.1.5.9
يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في 4λ2-4λ
- | λ2 | + | 4λ | ||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ | ||||||||
- | 4λ2 | + | 4λ |
خطوة 1.7.1.1.5.10
بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.
- | λ2 | + | 4λ | ||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ | ||||||||
- | 4λ2 | + | 4λ | ||||||||
- | 4λ |
خطوة 1.7.1.1.5.11
أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.
- | λ2 | + | 4λ | ||||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ | ||||||||
- | 4λ2 | + | 4λ | ||||||||
- | 4λ | + | 4 |
خطوة 1.7.1.1.5.12
اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم -4λ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه λ.
- | λ2 | + | 4λ | - | 4 | ||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ | ||||||||
- | 4λ2 | + | 4λ | ||||||||
- | 4λ | + | 4 |
خطوة 1.7.1.1.5.13
اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.
- | λ2 | + | 4λ | - | 4 | ||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ | ||||||||
- | 4λ2 | + | 4λ | ||||||||
- | 4λ | + | 4 | ||||||||
- | 4λ | + | 4 |
خطوة 1.7.1.1.5.14
يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في -4λ+4
- | λ2 | + | 4λ | - | 4 | ||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ | ||||||||
- | 4λ2 | + | 4λ | ||||||||
- | 4λ | + | 4 | ||||||||
+ | 4λ | - | 4 |
خطوة 1.7.1.1.5.15
بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.
- | λ2 | + | 4λ | - | 4 | ||||||
λ | - | 1 | - | λ3 | + | 5λ2 | - | 8λ | + | 4 | |
+ | λ3 | - | λ2 | ||||||||
+ | 4λ2 | - | 8λ | ||||||||
- | 4λ2 | + | 4λ | ||||||||
- | 4λ | + | 4 | ||||||||
+ | 4λ | - | 4 | ||||||||
0 |
خطوة 1.7.1.1.5.16
بما أن الباقي يساوي 0، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.
-λ2+4λ-4
-λ2+4λ-4
خطوة 1.7.1.1.6
اكتب -λ3+5λ2-8λ+4 في صورة مجموعة من العوامل.
(λ-1)(-λ2+4λ-4)=0
(λ-1)(-λ2+4λ-4)=0
خطوة 1.7.1.2
حلّل إلى عوامل بالتجميع.
خطوة 1.7.1.2.1
حلّل إلى عوامل بالتجميع.
خطوة 1.7.1.2.1.1
بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة ax2+bx+c، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما a⋅c=-1⋅-4=4 ومجموعهما b=4.
خطوة 1.7.1.2.1.1.1
أخرِج العامل 4 من 4λ.
(λ-1)(-λ2+4(λ)-4)=0
خطوة 1.7.1.2.1.1.2
أعِد كتابة 4 في صورة 2 زائد 2
(λ-1)(-λ2+(2+2)λ-4)=0
خطوة 1.7.1.2.1.1.3
طبّق خاصية التوزيع.
(λ-1)(-λ2+2λ+2λ-4)=0
(λ-1)(-λ2+2λ+2λ-4)=0
خطوة 1.7.1.2.1.2
أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.
خطوة 1.7.1.2.1.2.1
جمّع أول حدين وآخر حدين.
(λ-1)((-λ2+2λ)+2λ-4)=0
خطوة 1.7.1.2.1.2.2
أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.
(λ-1)(λ(-λ+2)-2(-λ+2))=0
(λ-1)(λ(-λ+2)-2(-λ+2))=0
خطوة 1.7.1.2.1.3
حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، -λ+2.
(λ-1)((-λ+2)(λ-2))=0
(λ-1)((-λ+2)(λ-2))=0
خطوة 1.7.1.2.2
احذِف الأقواس غير الضرورية.
(λ-1)(-λ+2)(λ-2)=0
(λ-1)(-λ+2)(λ-2)=0
(λ-1)(-λ+2)(λ-2)=0
خطوة 1.7.2
إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي 0، فالعبارة بأكملها تساوي 0.
λ-1=0
-λ+2=0
λ-2=0
خطوة 1.7.3
عيّن قيمة العبارة λ-1 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.3.1
عيّن قيمة λ-1 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
λ-1=0
خطوة 1.7.3.2
أضف 1 إلى كلا المتعادلين.
λ=1
λ=1
خطوة 1.7.4
عيّن قيمة العبارة -λ+2 بحيث تصبح مساوية لـ 0 وأوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.4.1
عيّن قيمة -λ+2 بحيث تصبح مساوية لـ 0.
-λ+2=0
خطوة 1.7.4.2
أوجِد قيمة λ في -λ+2=0.
خطوة 1.7.4.2.1
اطرح 2 من كلا المتعادلين.
-λ=-2
خطوة 1.7.4.2.2
اقسِم كل حد في -λ=-2 على -1 وبسّط.
خطوة 1.7.4.2.2.1
اقسِم كل حد في -λ=-2 على -1.
-λ-1=-2-1
خطوة 1.7.4.2.2.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 1.7.4.2.2.2.1
قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.
λ1=-2-1
خطوة 1.7.4.2.2.2.2
اقسِم λ على 1.
λ=-2-1
λ=-2-1
خطوة 1.7.4.2.2.3
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 1.7.4.2.2.3.1
اقسِم -2 على -1.
λ=2
λ=2
λ=2
λ=2
λ=2
خطوة 1.7.5
الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة (λ-1)(-λ+2)(λ-2)=0 صحيحة.
λ=1,2
λ=1,2
λ=1,2
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A-λI3)
خطوة 3
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([100120-352]-[100010001])
خطوة 3.2
بسّط.
خطوة 3.2.1
اطرح العناصر المتناظرة.
[1-10-00-01-02-10-0-3-05-02-1]
خطوة 3.2.2
Simplify each element.
خطوة 3.2.2.1
اطرح 1 من 1.
[00-00-01-02-10-0-3-05-02-1]
خطوة 3.2.2.2
اطرح 0 من 0.
[000-01-02-10-0-3-05-02-1]
خطوة 3.2.2.3
اطرح 0 من 0.
[0001-02-10-0-3-05-02-1]
خطوة 3.2.2.4
اطرح 0 من 1.
[00012-10-0-3-05-02-1]
خطوة 3.2.2.5
اطرح 1 من 2.
[000110-0-3-05-02-1]
خطوة 3.2.2.6
اطرح 0 من 0.
[000110-3-05-02-1]
خطوة 3.2.2.7
اطرح 0 من -3.
[000110-35-02-1]
خطوة 3.2.2.8
اطرح 0 من 5.
[000110-352-1]
خطوة 3.2.2.9
اطرح 1 من 2.
[000110-351]
[000110-351]
[000110-351]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=1.
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[00001100-3510]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.3.2.1
Swap R2 with R1 to put a nonzero entry at 1,1.
[11000000-3510]
خطوة 3.3.2.2
Perform the row operation R3=R3+3R1 to make the entry at 3,1 a 0.
خطوة 3.3.2.2.1
Perform the row operation R3=R3+3R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[11000000-3+3⋅15+3⋅11+3⋅00+3⋅0]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R3.
[110000000810]
[110000000810]
خطوة 3.3.2.3
Swap R3 with R2 to put a nonzero entry at 2,2.
[110008100000]
خطوة 3.3.2.4
Multiply each element of R2 by 18 to make the entry at 2,2 a 1.
خطوة 3.3.2.4.1
Multiply each element of R2 by 18 to make the entry at 2,2 a 1.
[1100088818080000]
خطوة 3.3.2.4.2
بسّط R2.
[1100011800000]
[1100011800000]
خطوة 3.3.2.5
Perform the row operation R1=R1-R2 to make the entry at 1,2 a 0.
خطوة 3.3.2.5.1
Perform the row operation R1=R1-R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1-01-10-180-0011800000]
خطوة 3.3.2.5.2
بسّط R1.
[10-180011800000]
[10-180011800000]
[10-180011800000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x-18z=0
y+18z=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[z8-z8z]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[18-181]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{z[18-181]|z∈R}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[18-181]}
{[18-181]}
{[18-181]}
خطوة 4
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([100120-352]-2[100010001])
خطوة 4.2
بسّط.
خطوة 4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 4.2.1.1
اضرب -2 في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
[100120-352]+[-2⋅1-2⋅0-2⋅0-2⋅0-2⋅1-2⋅0-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
خطوة 4.2.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 4.2.1.2.1
اضرب -2 في 1.
[100120-352]+[-2-2⋅0-2⋅0-2⋅0-2⋅1-2⋅0-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
خطوة 4.2.1.2.2
اضرب -2 في 0.
[100120-352]+[-20-2⋅0-2⋅0-2⋅1-2⋅0-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
خطوة 4.2.1.2.3
اضرب -2 في 0.
[100120-352]+[-200-2⋅0-2⋅1-2⋅0-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
خطوة 4.2.1.2.4
اضرب -2 في 0.
[100120-352]+[-2000-2⋅1-2⋅0-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
خطوة 4.2.1.2.5
اضرب -2 في 1.
[100120-352]+[-2000-2-2⋅0-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
خطوة 4.2.1.2.6
اضرب -2 في 0.
[100120-352]+[-2000-20-2⋅0-2⋅0-2⋅1]
خطوة 4.2.1.2.7
اضرب -2 في 0.
[100120-352]+[-2000-200-2⋅0-2⋅1]
خطوة 4.2.1.2.8
اضرب -2 في 0.
[100120-352]+[-2000-2000-2⋅1]
خطوة 4.2.1.2.9
اضرب -2 في 1.
[100120-352]+[-2000-2000-2]
[100120-352]+[-2000-2000-2]
[100120-352]+[-2000-2000-2]
خطوة 4.2.2
اجمع العناصر المتناظرة.
[1-20+00+01+02-20+0-3+05+02-2]
خطوة 4.2.3
Simplify each element.
خطوة 4.2.3.1
اطرح 2 من 1.
[-10+00+01+02-20+0-3+05+02-2]
خطوة 4.2.3.2
أضف 0 و0.
[-100+01+02-20+0-3+05+02-2]
خطوة 4.2.3.3
أضف 0 و0.
[-1001+02-20+0-3+05+02-2]
خطوة 4.2.3.4
أضف 1 و0.
[-10012-20+0-3+05+02-2]
خطوة 4.2.3.5
اطرح 2 من 2.
[-100100+0-3+05+02-2]
خطوة 4.2.3.6
أضف 0 و0.
[-100100-3+05+02-2]
خطوة 4.2.3.7
أضف -3 و0.
[-100100-35+02-2]
خطوة 4.2.3.8
أضف 5 و0.
[-100100-352-2]
خطوة 4.2.3.9
اطرح 2 من 2.
[-100100-350]
[-100100-350]
[-100100-350]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=2.
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[-10001000-3500]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 4.3.2.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 4.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by -1 to make the entry at 1,1 a 1.
[--1-0-0-01000-3500]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R1.
[10001000-3500]
[10001000-3500]
خطوة 4.3.2.2
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 4.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[10001-10-00-00-0-3500]
خطوة 4.3.2.2.2
بسّط R2.
[10000000-3500]
[10000000-3500]
خطوة 4.3.2.3
Perform the row operation R3=R3+3R1 to make the entry at 3,1 a 0.
خطوة 4.3.2.3.1
Perform the row operation R3=R3+3R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[10000000-3+3⋅15+3⋅00+3⋅00+3⋅0]
خطوة 4.3.2.3.2
بسّط R3.
[100000000500]
[100000000500]
خطوة 4.3.2.4
Swap R3 with R2 to put a nonzero entry at 2,2.
[100005000000]
خطوة 4.3.2.5
Multiply each element of R2 by 15 to make the entry at 2,2 a 1.
خطوة 4.3.2.5.1
Multiply each element of R2 by 15 to make the entry at 2,2 a 1.
[1000055505050000]
خطوة 4.3.2.5.2
بسّط R2.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x=0
y=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xyz]=[00z]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xyz]=z[001]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{z[001]|z∈R}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
خطوة 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[18-181],[001]}